Действие заданных сил описывается вторым законом движения Ньютона или соответствующими релятивистскими законами. Однако источники сил должны быть описаны дополнительными гипотезами. В теории Ньютона сила гравитации дается ньютоновским законом всемирного тяготения, согласно которому любые два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их гравитационных масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Если гравитационные массы двух тел A и B равны MA и MB, а расстояние между ними R, то сила равна:

где G - ньютоновская гравитационная постоянная, равная 6,6726?10-11 м3/(кг?с2).

Этот закон можно представить в иной форме, если ввести понятие поля сил: напряженность гравитационного поля, создаваемого телом A, в точке, находящейся на расстоянии R от него, равна силе, действующей на единичную пробную массу, помещенную в эту точку:

EA = GMA/R2.

Ньютон показал, что притяжение однородного сферического тела можно вычислять, принимая, что вся его масса сосредоточена в центре сферы. Поскольку Земля имеет приблизительно сферическую форму, напряженность создаваемого ею гравитационного поля на ее поверхности равна:

g = GMЗемли/(RЗемли)2 . 9,81 м/с2.

Это - просто ускорение силы тяжести, т.е. скорость увеличения скорости падающего тела.

Выражение для напряженности гравитационного поля, создаваемого телом А, характеризует его способность воздействовать с силой притяжения на другие тела. Сила же, действующая на любое другое тело, равна произведению напряженности поля EA на массу этого тела:

F = EAMB,

что согласуется с первым из приведенных выше выражений для силы притяжения между двумя телами. Из закона сохранения импульса следует, что все эти рассуждения остаются справедливыми, если два тела поменять местами. Таким образом, напряженность гравитационного поля, создаваемого телом B, равна EB = GMB/R2, а сила, действующая на тело A со стороны тела В, равна F = EBMA. Поведение системы из нескольких тел можно объяснить, рассмотрев силы, действующие на каждое тело со стороны всех других.

С современной точки зрения закон всемирного тяготения Ньютона имеет два недостатка, один очевидный, другой - более тонкий. Очевидный недостаток состоит в том, что закон неинвариантен относительно преобразований Лоренца и, следовательно, противоречит частной ТО. Сила, которую дает закон Ньютона в каждый конкретный момент времени, определяется расстоянием между телами, существующими в этот момент времени. Но мы уже видели, что расстояние между двумя телами в данный момент зависит от системы отсчета, в которой проводятся измерения, как и сам "данный момент".

Можно, конечно, модифицировать закон всемирного тяготения таким образом, чтобы он согласовался с частной ТО. И ряд подобных модификаций был предложен вскоре после создания частной ТО. Однако все они, как и теория Ньютона, страдали другим, более тонким недостатком, избавиться от которого удалось лишь в общей теории относительности (ОТО). Эти модификации представляют сейчас лишь исторический интерес и рассматриваться здесь не будут, а об упомянутом недостатке и предложенном Эйнштейном средстве избавления от него будет сказано в следующем разделе.

Гравитационная и инертная массы. Понятие массы выступало выше в двух разных аспектах. В законах движения, ньютоновских и релятивистских, которые описывают действие заданных сил, масса характеризует сопротивляемость тела - его инерцию - по отношению к силам, стремящимся изменить его движение. В этом случае массу называют инертной. В ньютоновском же законе всемирного тяготения масса выступает как фактор, определяющий гравитационные силы, вызываемые данными телами, и здесь масса называется гравитационной. И нет оснований заранее предполагать, что эти массы связаны между собой. Иногда, чтобы подчеркнуть различие между ними, гравитационную массу даже называют гравитационным зарядом. Имеются, однако, очень точные экспериментальные данные, свидетельствующие о том, что обе массы пропорциональны друг другу, причем коэффициент пропорциональности для всех известных веществ один и тот же (подбором удобной системы единиц он может быть сделан равным 1).

Одним из таких свидетельств, известным, по крайней мере, еще со времен Галилея, является факт одинаково быстрого падения всех тел (если пренебречь сопротивлением воздуха). Большой свинцовый груз сильнее притягивается Землей, чем маленький грузик, и все же он не падает с бльшим ускорением, поскольку бльшая сила компенсируется и бльшей инерцией. Опять-таки свинцовый и стальной грузики, уравновешенные на весах и, следовательно, имеющие равные гравитационные массы, падают с одинаковым ускорением и потому имеют также равные инертные массы.

Пусть ma, mb - инертные, а MA, MB - гравитационные массы тел A и B. Обозначим FA и FB гравитационные силы, действующие на эти тела со стороны Земли и вызывающие движение с ускорениями aA и aB, и примем, что, как и прежде, g = GMЗемли/(RЗемли)2 . Из закона движения получаем

FA = mAaA; FB = mBaB,

а из закона всемирного тяготения -

FA = gMA; FB = gMB.

Наблюдения показывают, что все тела падают с одинаковым ускорением, т.е. aA = aB. Поэтому, приравнивая попарно выражения для FA и FB, получаем

mA/MA = mB/MB,

что и требовалось, а именно: отношение гравитационной массы к инертной одинаково для различных тел. Впервые точные измерения, подтвердившие пропорциональность гравитационной и инертной масс, были выполнены Р.Этвешем с сотрудниками в начале 20 в. Спустя 70 лет Р.Дикке в Принстоне и В.Б.Брагинский в Москве еще больше повысили точность таких измерений. Весы, к которым подвешивались грузы из различных материалов, были столь чувствительны, что если бы отношение гравитационной массы к инертной для этих материалов было неодинаковым, то из-за гравитационного воздействия Солнца был бы зарегистрирован эффект, изменяющийся на протяжении суток в соответствии с вращением Земли вокруг своей оси. Но в пределах погрешности порядка 1?10?12 такой эффект не был обнаружен.

Относительность инерции. Другой общий недостаток механики Ньютона, выявленный в 19 в., - в значительной мере благодаря Э.Маху (1838-1916) - связан с тем, что она базируется на понятиях абсолютного пространства и абсолютного времени. Основная трудность, к которой это приводило, состояла в том, что нет никаких экспериментальных методов идентификации ни пространства, ни времени. Все мыслимые измерения - это измерения относительных положений, движений и отрезков времени. Почему бы, спрашивал Мах, вместо равномерного движения относительно абсолютного пространства в качестве критерия инерциальной системы отсчета не рассматривать равномерное движение относительно удаленных звезд. Мах пытался изменить ньютоновскую механику таким образом, чтобы согласовать ее с такими соображениями, однако столкнулся с трудностями, проистекающими главным образом из-за того, что его модификации не были достаточно революционными. Частная ТО не отвечала требованиям Маха - она всего лишь объединила абсолютное пространство и абсолютное время в абсолютное пространство-время, против которого можно было бы выдвинуть те же возражения, что и против абсолютного пространства и времени по отдельности.

Мысль Маха о желательных изменениях в механике можно кратко выразить в "принципе относительности инерции", который Эйнштейн, находившийся под сильным влиянием Маха, сформулировал в следующем виде: не может быть инерции относительно пространства; есть лишь инерция масс друг относительно друга. Анализ этого положения привел Эйнштейна к выводу, что с учетом гравитационного поля можно рассматривать как относительное не только равномерное движение, но и движение ускоренное. Это означает, что галилеевская инвариантность предъявляет слишком жесткие требования к эквивалентным системам отсчета. Эйнштейн выдвинул положение, что "законы физики должны быть применимы в системах отсчета, движущихся как угодно". Исходя из этого, он сформулировал принцип эквивалентности, согласно которому силы гравитации и силы инерции невозможно различить по результатам локальных механических опытов. На этой основе он предложил новую теорию, в которой пропорциональность гравитационной и инертной масс оказывалась необходимым следствием, а не случайностью, как в механике Ньютона. Что же касается маховской критики представлений об абсолютном пространстве и абсолютном времени, то она учитывалась введением положения, что свойства пространства-времени должны вытекать из распределения вещества, а не быть независимыми от него.

Принцип эквивалентности. Ньютоновский закон движения и соответствующий релятивистский закон выполняются только в инерциальных системах отсчета. Если же измерения проводятся относительно некоторой другой системы, то в закон необходимо ввести новые слагаемые, чтобы учесть ускоренное движение. Так, в системе отсчета, вращающейся относительно инерциальной, дополнительные слагаемые представляют собой центробежную и кориолисову силы инерции. Указанные дополнительные члены содержат в качестве множителя инертную массу. Эти силы называют силами инерции, а вследствие эквивалентности инертной и гравитационной масс они входят в закон движения наравне с гравитационными силами. Это заключение, важность которого Эйнштейн понял за несколько лет до того, как сформулировал ОТО, есть одно из выражений принципа эквивалентности.

Эйнштейн проиллюстрировал данный принцип знаменитым мысленным экспериментом в лифте. (Осуществить такой эксперимент было бы технически сложно, но он помогает понять суть теории.) Этот эксперимент проводит ученый, который, находясь в лифте, выполняет четыре опыта (рис. 8):

1. Лифт стоит на поверхности Земли. Ученый в лифте выпускает из руки груз и видит, что он с ускорением падает на пол.

2. Лифт свободно падает в лифтной шахте (из которой откачан воздух для устранения его сопротивления). Ученый снова выпускает из рук груз, но, поскольку теперь и лифт, и груз находятся в состоянии свободного падения, груз "зависает" где-то между полом и потолком лифта (силами притяжения груза к лифту и телу ученого можно пренебречь).

Следующие два опыта выполняются в космическом пространстве, далеко от Земли, где всеми гравитационными полями можно пренебречь.

3. Лифт ускоряется вверх в вертикальном направлении с прикрепленным к нему ракетным двигателем. Если ускорение лифта равно 9,8 м/с2, то, когда ученый выпускает груз, он обнаруживает, что груз падает с таким же ускорением, как и в первом опыте. В отсутствие сил груз не должен приобретать ускорения, но благодаря ускоренному движению лифта ученый видит, что груз с ускорением падает вниз.

4. Лифт находится в космосе без ускорения, но по-прежнему далеко от Земли. Поскольку заметные гравитационные поля отсутствуют, когда ученый выпускает из рук второй груз, последний "зависает", как это было во втором опыте.

Мы можем представить результаты опытов в виде табл. 1. Результаты одинаковы, с одной стороны, для случаев, когда лифт неподвижен относительно Земли (в гравитационном поле Земли) и когда он находится в космосе и движется ускоренно вверх (опыты 1 и 3), а - с другой, когда лифт свободно падает в гравитационном поле Земли или же когда он неподвижен в далеком космосе (опыты 2 и 4).

Как явствует из опытов, действие гравитационного поля точно такое же, как и сил инерции, обусловленных ускоренным движением лифта. Это и есть непосредственное выражение принципа эквивалентности.

Основные следствия ОТО. Важно понять, что за небольшими исключениями эйнштейновская теория предсказывает те же явления гравитации, что и ньютоновская. Таким образом, все явления, хорошо описываемые ньютоновской теорией тяготения, столь же хорошо описываются ОТО. Кроме того, ОТО снимает возражения Маха против ньютоновских концепций абсолютных пространства и времени.

В то же время все предсказания частной ТО непосредственно могут быть получены из ОТО, поскольку ОТО включает в себя частную ТО как частный случай, когда гравитационным полем можно пренебречь. Все же некоторые выводы ОТО отличаются от предсказаний ньютоновской теории. Предсказываемые эффекты, в которых проявляется различие между обеими теориями, зачастую слишком малы, чтобы их можно было обнаружить существующими методами, но там, где эти различия все же обнаруживаются, чаша весов склоняется в пользу ОТО. Опишем теперь три классических опыта по проверке ОТО и соответствующие экспериментальные результаты.

Смещение перигелия орбиты. Согласно законам Кеплера, планеты Солнечной системы движутся по эллипсам, в общем фокусе которых находится Солнце. Это не вполне соответствует ньютоновской теории. Планеты не только притягиваются Солнцем, но и притягиваются друг к другу, хотя и гораздо слабее, чем к Солнцу, поскольку их массы намного меньше массы Солнца. Но если учесть эти малые взаимные возмущения, то наблюдаемое движение планет вполне согласуется с предсказаниями ньютоновской теории, за исключением малых деталей. Наиболее известное и подробно исследованное расхождение между теорией и экспериментом - так называемое смещение перигелия Меркурия.

Перигелий - точка максимального приближения планеты к Солнцу. Из-за возмущающего действия других планет положение перигелия слегка изменяется при каждом орбитальном прохождении планеты через эту точку (рис. 9). Однако наблюдаемое смещение перигелия Меркурия, регистрируемое с начала 19 в., на 43 угловые секунды за сто лет больше предсказываемого ньютоновской теорией. Предлагались разные объяснения этого, в том числе гипотеза о существовании внутри орбиты Меркурия некой другой планеты (названной Вулканом) и модификация закона всемирного тяготения, но каждое из них приводило к новым противоречиям с данными астрономических наблюдений. Теория Эйнштейна объяснила смещение перигелия Меркурия без каких-либо дополнительных предположений. В случае других планет этот эффект оказывается слишком малым, и его пока не удается измерить.

Отклонение света. Другим предсказанием ОТО является искривление светового луча или другого электромагнитного излучения при прохождении вблизи массивного объекта, например Солнца. Аналогичное отклонение следует и из ньютоновской теория тяготения, но ОТО предсказывает вдвое больший эффект. (В соответствии с ОТО луч должен отклоняться к объекту на расстояние, пропорциональное его массе и обратно пропорциональное минимальному расстоянию между ним и лучом.) Из этого следует, например, что если некий астроном, находящийся на Земле, фиксирует положение какой-нибудь звезды, находящейся практически на одной линии с Солнцем (так, что свет от звезды проходит в непосредственной близости от Солнца), и затем делает то же самое в другое время года, когда Солнце находится в другой части неба и когда его действием на свет от звезды можно пренебречь, то он обнаружит, что свет от одной и той же звезды пришел по двум слегка различающимся направлениям. Если Солнце наблюдается на фоне звезд, то те из них, которые ближе всего к Солнцу, должны обнаруживать наибольшее радиальное смещение от него относительно своего положения в отсутствие Солнца в данной части небосвода.

Однако наблюдение звезд, находящихся вблизи солнечного диска, затруднено, поскольку солнечный свет не позволяет их видеть. Такая возможность появляется во время полного солнечного затмения, когда звезды вблизи диска становятся видимыми на небе и их можно сфотографировать. Если через несколько месяцев сделать ночью новую фотографию, когда Солнце находится далеко, то можно сравнить два положения звезды. Различие, предсказываемое теорией, достаточно велико и составляет 1,74 угловой секунды для звезд, свет которых проходит вблизи солнечного диска. Такая величина без особых сложностей может быть зарегистрирована.

Первые наблюдения по проверке предсказаний Эйнштейна проводились в период полного затмения Солнца 29 мая 1919 двумя британскими экспедициями, одна из которых базировалась на о.Принсипи вблизи западного побережья Африки, а другая - в Бразилии. Результаты наблюдений подтвердили предсказания теории, а весть об этом успехе сделала с той поры имя Эйнштейна всемирно известным. На самом деле результаты измерений были не очень точными, и за последующие полвека состояние дел кардинально не улучшилось: наблюдения оставались чересчур сложными в техническом отношении.

Ситуация существенно изменилась с начала 1970-х годов благодаря появлению радиоинтерферометров с очень большой базой, в которых используются совместно работающие радиотелескопы, расположенные на разных континентах и отстоящие друг от друга на тысячи километров. Наблюдения в радиодиапазоне могут проводиться в любое время, а не только во время затмений. Совместно работающие радиотелескопы, расположенные далеко друг от друга, позволяют очень точно измерять направление на источник радиосигнала. Поскольку на протяжении года в пределах нескольких градусов от Солнца (при наблюдении с Земли) проходит целый ряд мощных квазизвездных источников радиоизлучения (квазаров), было проделано несколько тысяч измерений. Результаты подтверждают предсказания теории Эйнштейна в пределах погрешности 0,1?0,2%, т.е. с точностью, в 100 раз более высокой, чем в прежних экспериментах по наблюдению звезд во время затмений.

Гравитационное красное смещение. Еще одно следствие ОТО, на которое указал Эйнштейн, - зависимость наблюдаемой энергии фотона (частицы света) от его местоположения в гравитационном поле. Так как энергия пропорциональна частоте (по закону Планка E = h?), наблюдаемая частота тоже должна зависеть от местоположения. Так, например, фотон, соответствующий некоторой спектральной линии в спектре излучения какого-то атома на Солнце и впоследствии поглощенный на Земле, должен в момент прихода на Землю иметь частоту, на 1/400 000 меньшую, чем у такого же фотона, испущенного таким же атомом на Земле. В принципе это различие можно было бы обнаружить спектроскопическими методами, если бы не ряд мешающих факторов (таких, например, как доплеровское смещение частоты вследствие движения излучающего атома), которые пока что затрудняют однозначную интерпретацию результатов наблюдения за Солнцем.

В 1959 Р.Паунд с сотрудниками в Гарвардском университете провел эксперимент, основанный на возбуждении в земных условиях излучения некоторого атома с частотой, задаваемой с очень высокой точностью. Успеху эксперимента мешали трудности исключения неконтролируемого изменения частоты, обусловленного отдачей излучающего атома. Позднее задача была решена использованием излучающего атома, закрепленного в решетке некоторого кристалла: в этом случае отдачу принимает на себя весь кристалл, а потому она становится пренебрежимо малой.

В результате оказалось возможным регистрировать изменения в частоте излучения, "падающего" в гравитационном поле в пределах всего лишь 30 м. Результаты подтверждают предсказания Эйнштейна с точностью до 1%.

Задержка времени распространения света. Еще одно поддающееся экспериментальной проверке следствие ОТО, связанное с отклонением света, было обнаружено только в 1964. Это замедление света в поле тяготения, впервые предсказанное И.Шапиро из Массачусетского технологического института (США). Шапиро указал на то, что вблизи большого тела, каким является Солнце, свет и радиосигнал должны не только отклоняться, но и распространяться с меньшей скоростью. Для сигнала, проходящего вблизи Солнца, время задержки может достигать 20 мкс, что легко обнаружить современными техническими средствами.

Шапиро с сотрудниками измерили время прохождения сигналов, отраженных от Меркурия и Венеры, а позднее провели более точные измерения с автоматическими межпланетными станциями серии "Викинг", которые совешили посадку на Марс, а также двигались по орбите вокруг Марса. Результаты измерений с помощью этих космических аппаратов подтвердили получение Шапиро предсказаний ОТО с точностью 0,1%.

Гравитационные волны. Гравитационная волна - это колебания гравитационного поля, которые, подобно свету и другим электромагнитным волнам, могут переносить энергию. В теории Ньютона нет ничего подобного, но ОТО предсказывает существование гравитационных волн, распространяющихся со скоростью света.

Любое вращающееся несимметричное тело, а также система двух или более тел, движущихся одно относительно другого, должны излучать гравитационные волны. Однако из-за малости гравитационных сил по сравнению с электромагнитными, а отчасти из-за некоторых следствий технического характера, вытекающих из принципа эквивалентности, обнаружить гравитационные волны современными техническими средствами намного сложнее, чем электромагнитные. Существует, однако, убедительное косвенное подтверждение существования гравитационных волн, а также предсказаний ОТО, касающихся количества энергии, переносимой гравитационными волнами. Эти данные получены в процессе исследования знаменитого теперь астрономического объекта - двойного пульсара PSR 1913+16, открытого в 1975 Р.Халсом и Д.Тейлором в обсерватории Аресибо (Пуэрто-Рико).

Пульсар представляет собой быстро вращающуюся нейтронную звезду, генерирующую направленный пучок радиоволн, подобный лучу вращающегося прожектора. При регистрации их на Земле фиксируется импульсное излучение с периодом, равным периоду вращения нейтронной звезды. Двойной пульсар состоит из двух вращающихся вокруг общего центра масс звезд, при этом одна звезда - радиопульсар, а другая - либо тоже нейтронная звезда, либо белый карлик. Движение пульсара по его орбите может быть с большой точностью прослежено путем измерения времени прихода радиоимпульсов. Согласно ОТО, если система излучает гравитационные волны, то орбита пульсара должна немного изменяться. Регулярные наблюдения за пульсаром PSR 1913+16 убедительно показывают, что он излучает гравитационные волны с предсказываемой ОТО интенсивностью.

Множество отмеченных выше разнообразных экспериментов и наблюдений дает общей теории относительности ту основу, которой она не имела до 1960-х годов и благодаря которой тяготение теперь оказалось в главном русле современной физики. См. также КОСМОЛОГИЯ В АСТРОНОМИИ; ТЯГОТЕНИЕ; ПУЛЬСАР.

см. Относительности теория.